初中数学题库系统

📋摘要

本报告针对"为初中数学教师构建本地化结构化题库"的需求进行可行性分析，并给出完整的技术选型与实施方案。

1可行性评估

时机、技术、成本三方面均已具备，核心瓶颈在"标签体系"和"公式识别"的工程化落地。

2技术栈

所有选型均优先考虑中文生态友好 + 数学场景适配 + 长期可维护。

2.1 后端

2.2 前端

2.3 数据与 AI

2.4 文档解析

2.5 排版输出

3系统架构

采用"本地为主 + 云端模型为辅"的混合架构，数据完全自主可控。

4数据库设计

核心 9 张表，结构化标签 + 向量检索双引擎，新增媒体资源管理表支持图片去重与复用。

4.1 核心表概览

4.2 题目表核心字段

CREATE TABLE questions (
    id BIGSERIAL PRIMARY KEY,
    stem TEXT NOT NULL,                    -- 题干（LaTeX/Markdown）
    stem_html TEXT,                        -- 渲染后 HTML（缓存）
    question_type VARCHAR(20),             -- choice/fill/solution/proof
    difficulty SMALLINT DEFAULT 3,         -- 1-5
    answer TEXT,
    analysis TEXT,                         -- 解析
    source_id BIGINT REFERENCES sources(id),
    source_page INT,
    checksum VARCHAR(64),                  -- 内容 hash（去重辅助）
    embedding VECTOR(1024),                -- pgvector 向量
    created_at TIMESTAMPTZ DEFAULT NOW(),
    updated_at TIMESTAMPTZ DEFAULT NOW(),
    is_active BOOLEAN DEFAULT TRUE
);

CREATE INDEX idx_questions_embedding ON questions
    USING ivfflat (embedding vector_cosine_ops);

4.7 媒体资源管理（图片 / 公式 / 附件）

Word/PDF 试卷中的图片素材采用对象存储 + 数据库路径映射方案，支持 MD5 去重和题目-图片解耦。

-- 媒体资源表（统一管理所有二进制素材）
CREATE TABLE media_resource (
    id            BIGSERIAL PRIMARY KEY,
    uuid          VARCHAR(36) UNIQUE NOT NULL,
    original_name VARCHAR(255) NOT NULL,
    storage_path  VARCHAR(512) NOT NULL,
    access_url    VARCHAR(512),
    file_size     BIGINT NOT NULL,
    mime_type     VARCHAR(50) NOT NULL,
    md5_hash      VARCHAR(32),
    width         INT,
    height        INT,
    source        VARCHAR(50) DEFAULT 'upload',
    created_at    TIMESTAMPTZ DEFAULT NOW()
);

CREATE INDEX idx_media_md5 ON media_resource(md5_hash)
    WHERE md5_hash IS NOT NULL;

-- 题目-媒体关联表（解耦：一张图可用于多个题目）
CREATE TABLE question_media (
    id            BIGSERIAL PRIMARY KEY,
    question_id   BIGINT NOT NULL REFERENCES questions(id) ON DELETE CASCADE,
    media_id      BIGINT NOT NULL REFERENCES media_resource(id) ON DELETE CASCADE,
    usage_type    VARCHAR(20) NOT NULL,  -- stem/option/analysis/attachment
    display_order INT DEFAULT 0,
    alt_text      VARCHAR(255),
    created_at    TIMESTAMPTZ DEFAULT NOW(),
    UNIQUE (question_id, media_id, usage_type)
);

5项目结构

前后端分离、模块化分层、模板与代码分离。

math-bank/
├── backend/
│   ├── app/
│   │   ├── api/                    # FastAPI 路由
│   │   ├── core/                   # 配置、日志、安全
│   │   ├── models/                 # SQLAlchemy 模型
│   │   ├── schemas/                # Pydantic
│   │   ├── services/
│   │   │   ├── parser/             # 文档解析（pdf/docx/ocr）
│   │   │   ├── llm/                # LLM 客户端 + Prompts
│   │   │   ├── tagger/             # 自动打标
│   │   │   ├── dedup/              # 向量去重
│   │   │   └── exporter/           # Word/PDF/MD 导出
│   │   ├── db/
│   │   └── main.py
│   ├── alembic/
│   ├── tests/
│   └── pyproject.toml
├── frontend/
│   ├── src/
│   │   ├── views/
│   │   │   ├── QuestionBank/      # 题库浏览/编辑
│   │   │   ├── PaperBuilder/      # 组卷
│   │   │   ├── Importer/          # 试卷导入
│   │   │   └── KnowledgeTree/     # 知识点管理
│   │   ├── components/
│   │   │   ├── MathEditor.vue     # Tiptap + LaTeX
│   │   │   ├── QuestionCard.vue
│   │   │   └── TagSelector.vue
│   │   ├── api/
│   │   └── stores/
│   ├── package.json
│   └── vite.config.ts
├── templates/                      # 排版模板
│   ├── typst/                      # Typst 模板（主）
│   └── word/                       # Word 模板
├── data/
│   ├── sources/                    # 原始试卷
│   ├── images/                     # 题目图片
│   └── exports/                    # 导出文件
└── docker-compose.yml

6核心模块

四个核心模块构成系统的"AI 流水线"。

6.1 题目切分（最关键）

SPLIT_PROMPT = """你是初中数学题目切分专家。
输入是一份试卷的纯文本（可能含 LaTeX 公式 $...$），
需要切分成独立题目。

要求：
1. 准确识别每道题的题号
2. 分离题干、选项（小问）、答案、解析
3. 保留 LaTeX 公式原样
4. 几何题保留 [图:description] 占位

输出严格 JSON：
{
  "questions": [
    {
      "number": "1",
      "stem": "题干文字...",
      "options": ["A. ...", "B. ..."],
      "sub_questions": [{"label": "(1)", "stem": "..."}],
      "answer": "...",
      "analysis": "...",
      "knowledge_points": ["一元二次方程", "求根公式"],
      "difficulty": 3
    }
  ]
}"""

6.2 PDF 解析流程

1. 用 PyMuPDF 提取文字 + 图片位置
2. 扫描型 PDF 走 PaddleOCR
3. 公式片段识别用 pix2tex 转 LaTeX
4. 几何图直接保留原图，文字里插入 [图:hash] 占位
5. 拼接后送 LLM 二次切题

6.3 自动打标

6.4 向量去重

async def find_duplicates(question_text: str, threshold=0.92):
    embedding = await embed(question_text)
    sql = text("""
        SELECT id, stem,
               1 - (embedding <=> :vec) AS similarity
        FROM questions
        WHERE 1 - (embedding <=> :vec) > :threshold
        ORDER BY embedding <=> :vec
        LIMIT 5
    """)
    return await db.execute(sql, {"vec": embedding, "threshold": threshold})

6.7 智能组卷模块

智能组卷本质是带约束的随机抽样，目标是在限定条件下生成一套均衡的试卷。

6.7.1 组卷约束输入

6.7.2 算法对比

6.7.3 推荐算法：分层贪心 + 知识点约束检查

class SmartPaperGenerator:
    """分层贪心智能组卷生成器"""

    def generate(self, constraint: PaperConstraint) -> list[Question]:
        # 1. 按题型+难度分桶
        buckets = self._group_by_type_and_difficulty()

        # 2. 按题型贪心抽取
        selected = []
        for qtype, count in constraint.type_distribution.items():
            diff_counts = self._distribute_difficulty(count, constraint.difficulty_ratio)
            for diff, diff_count in diff_counts.items():
                candidates = buckets.get((qtype, diff), [])
                picked = self._pick_randomly(candidates, diff_count)
                selected.extend(picked)

        # 3. 知识点覆盖校验（缺必含则替换）
        selected = self._ensure_knowledge_coverage(selected, constraint)

        # 4. 禁知识点过滤
        selected = self._exclude_forbidden_kps(selected, constraint)

        # 5. 分配分值（使总分为目标总分）
        selected = self._allocate_scores(selected, constraint.total_score)
        return selected

    def _ensure_knowledge_coverage(self, selected, constraint):
        """确保必含知识点被覆盖，缺则替换"""
        if not constraint.required_kps:
            return selected
        covered = set()
        for q in selected:
            covered.update(q.knowledge_points)
        for kp_id in constraint.required_kps:
            if kp_id not in covered:
                replacement = self._find_replacement(selected, kp_id, constraint)
                if replacement:
                    weakest = min(selected, key=lambda q: len(
                        set(q.knowledge_points) & set(constraint.required_kps)))
                    selected[selected.index(weakest)] = replacement
        return selected

6.7.4 智能组卷扩展功能

7实施路线

5 个阶段、约 8-10 周可达到生产可用。

8关键建议

9成本估算

典型场景：首次导入 1000 道题，预计 DeepSeek 调用成本 30-50 元，之后日常使用更低。

🚀下一步行动

从最小闭环开始，逐步迭代。

1. 本周：搭项目骨架（FastAPI + Vue + Docker Compose）
2. 第 2 周：手动录入 50-200 道题，跑通"录入→检索→导出 Markdown"
3. 第 3-4 周：建知识点体系 + Tiptap 编辑器集成
4. 第 5 周起：接入 Word/PDF 解析 + LLM 切题
5. 第 8-9 周：组卷引擎 + Typst 模板 + 三格式导出